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現代教育通訊
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現代教育通訊 76期 前期教訊:
第76期《現代教育通訊》:解決數學難題的基本功
解決數學難題的基本功
梁志強 博士
香港教育學院講師

 

數學從解決問題中產生,並在解決各種問題的過程中不斷發展起來。數學的真正組成部分是『問題』和『解』;解題也是數學學習過程的一個重要部分。今天的社會,繁複的計算工序絕大部分由計算機和電腦進行。因此,新的課程指引建議減少無謂的計算操練,將時間多投放在提升學生的解難能力(課程發展議會,2002)。

第三屆國際數理學習研究結果顯示,香港小學生的平均數學能力不差,在 26 個國家/地區中排行第四位。看似我們應該感到高興,但排行首三位的卻是日本、新加坡和南韓,而且中國並沒有參與是次研究,可想像得到,香港小學生的平均數學能力在亞洲區算是落後的。

梁、容和杜(2002)在其報告指出,香港學生一般強於運算和解決常規問題。究其原因是學生多做習作,反覆操練。但在處理非常規問題時,香港學生則表現較差,反映香港學生欠缺解難能力的培養。

現時香港小學生大部分能掌握基本運算和解決簡單文字題,他們欠缺的是解決難題時的思考方法。要培養學生的解難能力,須讓他們掌握解難過程和靈活運用解難策略。如果要進行解難教學,協助學生理解及掌握解難過程是必然之事。

解難過程
解難是一個過程,從解題者開始接觸問題,經過處理已知資料,最後找到答案或結論並作出回顧為止。學生須充分掌握這個過程,才能有效解決學習時遇到的常規及非常規問題。

Polya1945)在他影響深遠的經典著作「How to Solve It」《如何解題》指出解難過程可分為四個階段:
1. 理解問題(Understanding the problem
2. 設計解題策略(Devising a plan
3. 按步解題(Carrying out the plan
4. 回顧解答(Looking back

Polya之後,也有幾位學者為解難引入不同模式,包括Krulik and Rudnick1988)的模式:理解(Read)、探索(Explore)、選取策略(Select a strategy)、解決(Solve)和回顧及延伸(Look back and extend)。

雖然這些解難模式的重點各有差異,它們的最終目標都是提升學生的數學思維,在解決難題時能夠有系統地進行。以Polya的模式為例,老師可以用以下提問協助學生進行解難的四個階段:

理解問題(Understanding the problem
‧你明白問題的每字每句嗎?
‧你能否用自己的文字重述問題?
‧已知量和未知量是甚麼,它們的關係如何?
‧目的是甚麼?
‧資料足夠嗎?
‧有沒有哪些資料是不相關的?
‧這個問題「難」在哪裡?
在這個階段,鼓勵學生反覆讀題,找出有用資料和問題重心。

設計解題策略(Devising a plan
‧這個問題是否跟曾解決過的問題類似?
‧可否用另一種型式表達?
‧可否試以較簡單情況替代?
‧可否用另一種形式表達有用資料?

在這個階段,鼓勵學生思考能否直接運用定理、公式等解題。如果不能,鼓勵他們將資料用圖/表顯示,或試解較簡單問題,在得到新的靈感後,選取較適合的策略再進行探究。小學生常用的策略有很多,包括:
‧估猜與測試(Guess and Test
‧繪圖(Draw a picture
‧探索規律(Look for a pattern
‧解一簡化問題(Solve a simpler problem
‧應用數目的性質(Use properties of numbers
‧逆轉思考(Work backward
‧窮盡可能性(Exhaust possibilities
‧尋找公式(Look for a formula
‧應用工具(Use tools
‧推理(Reasoning
‧進行模擬(Do a simulation
‧應用變量思考(Use a variable

按步解題(Carrying out the plan
‧你是否想出了一個解題方法嗎?
‧能否依這個方法計算下去?

在這階段,鼓勵學生應用並執行所選用的計劃,直至獲得解答或更明確的新解題方略。 宜提醒學生給自己合理、充份的時間去思考,若不成功可從別處尋找線索又或將問題放下一回再思考。並不要害怕重新開始,很多時候,新的開始,新的策略會導致成功。

回顧解答(Looking back
‧這個答案正確嗎?
‧這個方法正確嗎?
‧為甚麼用這個方法可得出正確答案?
‧有哪些關鍵步驟?
‧這方法能應用到類似的問題嗎?
‧有沒有其他方法?
‧如果有其他方法,何者較佳、較快或較易於概括?
‧如果問題的條件改變了,情況又會怎樣?

在這階段,鼓勵學生驗算,並須指出驗算不是將答案代入公式,而是檢視答案能否滿足題目內容及要求。另一方面,可鼓勵學生思考其他解題方法及將問題延伸,以增強其探究能力(梁志強,2003)。

如果學生解題時正確理解問題,下圖反映回顧時發現答案合理或不合理後的流程。

我們嘗試用以下例子分析解難四個步驟可能出現的情況。

題目:有大、小正方形手帕各一塊置於面積是900平方厘米的花紙上。兩塊手帕的邊長相差 4 厘米,面積相差 56平方厘米。大手帕的面積是多少?

在理解問題的階段,學生須清楚指出:
有用的資料
‧手帕是正方形的
‧一大、一小共有兩塊
‧邊長相差 4 厘米
‧面積相差 56 平方厘米

題目的要求
‧大手帕的面積是多少?
沒用的資料
‧花紙的面積是 900 平方厘米

面對這樣的題目,學生可視乎個人的數學知識和解題經驗來設計解題策略。以下是解決此題的其中五個方法:

方法一:代數式

具備中學或以上的數學知識的人,大多會用代數式來解決此題。但對小學生來說,這是一道難題,因為他們未能理解當中代數符號的運算。面對這樣的難題,他們可以怎樣解決?

以下是一些小學生可能運用的解題方法:

方法二:繪圖

教學提問:
- 題目中提供了哪些資料?
- 這裡有多少個正方形?當中哪些是有關係呢?
- 怎樣利用已知的資料去找出兩個正方形的大小?
- 正方形的面積與邊長有甚麼關係?
- 試試畫圖看看。
- 該怎樣畫圖才能清楚表示出題目提供的資料?
- 如何可以以一幅圖顯示這兩個正方形的關係呢?
- 把兩個正方形重疊擺放有甚麼好處?
- 透過畫圖,你們找到新的資料嗎?
- 透過畫圖,你找到甚麼新資料?
- 怎樣利用這些資料去找出大、小正方形的面積?

方法三:列表與試誤 I

教學提問:
- 題目中哪些資料可以讓你作初步嘗試?
- 這次嘗試能滿足題目的所有條件嗎?
- 如果未能夠滿足所有條件,可以怎樣做呢?

方法四:列表與試誤 II
教學提問:
- 大正方形的面積最少是多少?

方法五:列表與觀察規律

- 每條邊增加 1 cm 後,面積之差有甚麼改變?
- 改變有沒有規律?
- 每邊要增加多少才能滿足題目的要求?
- 所以,小正方形的邊長是多少?

學生按上述方法進行計算,如果沒有出現錯誤,會獲得大手帕的邊長為 9 厘米。

答案合理嗎?在回顧時,學生須驗算兩塊手帕的邊長是否相差 4 厘米和面積是否相差 56 平方厘米。最後才寫下答案:大手帕的面積為 81 平方厘米。

結論
掌握解難過程是解決數學難題的基本功。本文用了一個例子描述解難過程的四個階段,並建議教學時在每階段用提問來激發學生思考。

面對一個不熟悉的問題,第一步當然是先理解問題,找出問題核心和有用資料。第二步是想出一個可以解決問題的方法,如果找到直接解題的數學方法,那就直接使用吧;否則,便要想想有哪些解難策略可以幫忙了。有了解決問題的方法,便執行吧,這是第三階段。終於找到答案了,它能滿足問題的已知條件和要求嗎?這須要驗算啊!還有其他答案和方法嗎?在這第四階段,學生可以發展自我肯定和繼續探究的能力。

如果學生認真審題,他們在理解問題時應沒有太大困難。較大的挑戰是如何設計解難策略。發展本地小學生解難策略的參考書籍甚少,在優質教育基金贊助下,梁、林、潘、文和王(2005)就著小學四年級發展一套教材,協助小四學生掌握解難過程和建立六種常用策略,包括:試誤、繪圖、列表、窮盡可能性、逆轉反思和觀察規律。該套教材曾經在十間學校試用,學生和老師的回應令人鼓舞。如果數學老師希望培養學生的解難能力,該教材套或能提供一些實用的材料。

參考資料
課程發展議會(2002):《數學教育——學習領域課程指引》,香港:政府印務局。
梁志強(2003):〈從解難到數學探究〉,《數學教育期刊》,香港:香港教育學院,第四十期,頁44-50
梁志強、林淑華、潘建強、文耀光、王倩婷(2005):《愉快的解題者》,香港:香港教育學院出版。
Krulik S. & Rudnick (1988): Problem Solving: A Handbook for Elementary School Teachers. MA: Allyn and Bacon, Inc.
Leung, F., Yung, B. & Tso, A. (2002): Secondary Analysis of the TIMSS-R Data for Hong Kong: A Report for Hong Kong in the Third International Mathematics and Science Study. Hong Kong: Faculty of Education, The University of Hong Kong.
Polya, G. (1957): How to Solve It? Princeton: Princeton University Press.